Rechnen mit Äquivalenzklassen

siehe: Äquivalenzklasse

Definition 5.1

Die Relation $\sim$ auf $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ sei gegeben durch:
$(m,n)\sim (m^{\prime },n^{\prime }):⟺m+n^{\prime }=m^{\prime }+n$

Addition

$\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}$

Es gilt das:

• Assoziativgesetz
• Kommutativgesetz
• Neutrales Element $\overline{(0,0)}+\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}$
• Inverse Element $\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)}=\overline{(0,0)}$

Multiplikation

$\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$

Es gilt das:

• Kommutativgesetz
• Neutrales Element $\overline{(1,0)}+\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}$
• Distributivgesetz $\overline{(a,b)}\cdot (\overline{(a,b)}+\overline{(a,b)})=\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}$

Addition und Multiplikation gilt auch mit $\sim$ also: (Satz 5.5)

$(a,b)\sim (a^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }})\wedge (c,d)\sim (c^{{}^{\prime }},d^{{}^{\prime }})⟺\overline{(a+c,b+d)}=\overline{(a^{{}^{\prime }}+c^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }}+d^{{}^{\prime }})}$

\overline{(ac + bd, ad + bc)} = \overline{(a^{'}c^{'} + b^{'}d^{'}, a^{'}d^{'} + b^{'}c^{'})}$$