t-Test

Likelihoodfunktion

Vorraussetzungen

• metrisch skalierte Daten (z. B. Größen, Punkte, Gewichte)
• Die Daten sind annähernd normalverteilt (wichtig bei kleinen Stichproben)
• Du kennst nicht die Populationsstandardabweichung → deshalb der t-Test (nicht z-Test)

Berrechen

• $X\sim N({\mu }_x,{\sigma }_x^2),Y\sim N({\mu }_y,{\sigma }_y^2)$
• $$\begin{gathered} {\sigma }_x^2={\sigma }_y^2,H_0:{\mu }_1={\mu }_2 \\ {H}_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2 \end{gathered}$$
• Einstichproben t-Test:
  • linksseitig: $H_0:\mu \ge {\mu }_0$, $H_1:\mu <{\mu }_0$
  • rechtsseitig: $H_0:\mu \le {\mu }_0$, $H_1:\mu >{\mu }_0$
  • zweiseitig: $H_0:\mu =x$, $H_1:\mu \ne x$
  • Teststatistik: $T=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$
  • Nachschlagen in der t-Verteilungstabelle, wobei $Freiheitsgrad=n-1$.
    • Ablesen des kritischen Wertes:
      • rechtsseitig: direkt ablesbar
      • linksseitig: Kehrwert bilden (einfach ein “$-$” davor)
      • beidseitig: Signifikanzniveau halbieren (z.B. bei $5\%$ zu $\alpha =0,025$) und zwei Kritische Werte bilden, einmal normal ablesen und dann für den anderen Kehrwert bilden
    • Verwerfen wenn:
      • links: $\text{t-Wert}<\text{Kritischer Wert}$
      • rechts: $\text{t-Wert}>\text{Kritischer Wert}$
      • beidseitig: $\text{t-Wert}\notin ({\text{Kritischer Wert }}_1,{\text{ Kritischer Wert}}_2)$

Lebesguedichte

Kritische Werte

R Beispiel